Бесконечная бесконечность

Вы не понимаете. Ваш пример - то же самое, что и пример с гостиницей. На примере шариков в коробке (так же, как и на примере гостиницы): вполне можно представить себе конечную мощность множества, тогда и можно будет вычитать шарики из коробки, докладывать их в неё... Но с бесконечностью это теряет смысл. Бесконечность чисел - это такая коробка, которая ВЕЗДЕ и она ПОЛНА шариков. ВСЕХ шариков, понимаете? Нельзя положить в неё ещё один шарик, так как любой шарик, который мы возьмём, И ТАК уже в коробке. То есть, нет никакого ВНЕ коробки. Нельзя его оттуда вычесть, потому что, куда бы мы не положили вычтенный шарик, он всё равно будет в коробке. Можно шарик лопнуть, но всё равно его ошмётки будут в коробке. Но это, конечно, уже материальное отступление. Можно копошиться где-то в этой коробке и складывать/вычитать сколь угодно много шариков, класть их в другие маленькие коробочки, но это будут действия не с бесконечностью, а лишь с её неопределённо малыми частями. То есть, мне кажется, под бесконечностью в математическом смысле этого слова правильней было бы понимать такую мощность множества, в которую входят ВСЕ числа - даже те, которые мы ещё не нарисовали на бумаге. Нельзя, как в фильме, рисовать две линии цифр, одну только чётных, а другую всех по порядку, и утверждать, что несмотря на то, что в первой бесконечной линии цифр в два раза меньше, эти две бесконечности одинаковы. Ну неверно же. Нет никаких двух бесконечностей. Если их две - то это конечности (оторванные, ога). А если продолжить эти линии во всех направлениях, до тех пор, пока не кончится пространство (и даже за его пределы - бесконечность же), станет очевидно, что это одна бесконечность. И можно дорисовать сверху и снизу ещё сто (тысячу, миллиард, гугол) таких линий, допустим, с дробями - и они все будут неопределённой частью одной бесконечности.

Школьник на доске пишет 1+1=2. Он не создаёт нового конечного уравнения. Он пользуется цифрами, входящими в бесконечность. Он копошится в бесконечной коробке и складывает два шарика, которые в ней находятся. Как-то так...

Не математик, но учился. Предел бесконечности есть? Нет? Тогда есть пределы (математические)lim х/dx при x стремящемясему к бесконечности. О как!

Да был я там. И про бесконечность, и про число Грэма читал. И не только там. Число Грэма доставляет, да. А о бесконечности на вики, кстати, тоже эти спорные утверждения, типа бесконечность плюс N равно бесконечность, бесконечность минус N равно бесконечность. Я, конечно, почти ничего, кроме этого, там не понял, но вроде бы не нашёл там подобия того определения бесконечности, о котором говорю я. Скорее всего, это значит, что оно в корне неверно, но где именно оно неверно? Даже в логике учёные мужи сошлись на том, чтобы принять бесконечность за конечную величину. В частности, утверждение, что "если вычислительная машина сконструирована таким образом, чтобы выполнять первую операцию за 0,5 мин, вторую — за 0,25 мин, третью — за 0,125 мин и так далее, то за минуту она могла бы пересчитать весь натуральный ряд" мне кажется сомнительным. Допустим, что через минуту машина будет выполнять почти бесконечность операций в секунду (на самом деле, даже если отбросить скорость сигналов в схемах, каждая операция всегда будет выполняться за определённое, неисчилимо малое, но время. Через каждую операцию время последующей будет иметь всё больше нулей после десятичной запятой Но всё-таки время будет.). Так ведь всё равно она не сможет досчитать до бесконечности. До скольки бы она не досчитала, дальше будет следовать... всё та же бесконечность. Мне почему-то кажется очевидным, что нельзя дойти до края того, у чего края нет. А так же не имеет смысла делить то, у чего нет краёв. Нельзя (точнее, нечего) прибавлять к тому, что и без этого содержит всё.

Вы абсолютизируете бесконечность. Можно представить бесконечную линию. Один ее конец уходить в бесконечность. Другой ее конец уходит в бесконечность. Но меж тем эта линия не занимает все окружающее пространство, строго говоря, она вообще не занимает нисколько пространства. И если мы проведем две такие линии, то получим бесконечность*2. Так же мы можем добавить к одной такой линии любую точку, не лежащую на данной прямой, и получим что-то навроде бесконечность+1. Также можно вычесть из прямой одну точку, получив -1. Можно разделить прямую на два луча, причем разделять можно в любом месте, не промахнетесь

Математика - абстракция, ученым приходится рисовать условные величины, в противном случае им пришлось бы объявить все это ересью и отправиться заниматься гуманитарными науками

В целом познавательный фильм, думаю, тем, кто не знал/не интересовался, будет интересно узнать про число Грэма (Грехема). Хотя, в фильме масштаб числа раскрыт слабо. А вот часть про бесконечность вызвала у меня много вопросов. Я далеко не математик, напротив, гуманитарий до мозга костей, но иногда вдруг начинаю ломать голову над всякой такой ерундой. Если есть математики, проясните, пожалуйста, пару вопросов о бесконечности:

1. Как можно оперировать бесконечностью? Мне кажется, математики в случае с бесконечностью немного привирают, оперируя ОЧЕНЬ большими числами, стремящимися к бесконечности, но всё-таки не бесконечностью. Иными словами, как можно к бесконечности прибавить один? Где взять единицу, уже не находящуюся в этой бесконечности? Где взять неприбавленную единицу? О_о

2. Та же мура с вычитанием: куда отнять единицу у бесконечности, чтобы она перестала быть в этой бесконечности?
Нельзя так делать, мне кажется. Иначе это будет уже не бесконечность, а конечное число, кроме которого есть ещё числа.

Я думаю нельзя так просто, как математик начала 20-го века, объяснять бесконечность на примере гостиницы с бесконечным количеством номеров. Просто потому, что такая гостиница простиралась бы везде, во всей Вселенной и за её пределами, если они есть, во всех других/паралелльных/потусторонних/гиперпространственных и, вообще, всех, какие там ещё могли бы быть, Вселенных. И нельзя было бы эту гостиницу взять и покинуть, тем самым вычтя себя из бесконечности.

Деление тоже получается бессмысленным: нельзя взять и провести линию посередине бесконечности, разделив её надвое. Потому что у бесконечности нет середины. Проще говоря, деление невозможно из-за неопределённости делителя. Даже, однако, не из-за определённости, а из-за отсутствия. Про умножение, думаю, говорить не стоит.

В общем, мне кажется, все эти разговоры про то, что бывают бесконечности одна больше другой - полная фигня.

Такой вот разрыв мозгов. Но, я, повторюсь, не математик, так что, это всё, естественно, только моё мнение, которое может быть неверным. Гуру матана, поправьте меня.